对教学的思考：2

原文：Thoughts on Teaching: 2 - David Friedman’s Substack

发布于 2023 年 6 月 25 日

成绩曲线：Gordon Tullock 的解决方案

理想情况下，一位教授课程中的某个成绩应该代表与另一位教授课程中相同成绩等同的学术成就水平。然而现实往往并非如此，因为不同教授采用不同的评分标准。解决这个问题的通常做法是对教授们强制实施成绩曲线——一种固定的成绩分布，有时在细节上允许一定的灵活性。但这会导致一个问题：在只有最优秀学生选修的课程中很难获得A，而在主要由学习较差学生组成的班级里则容易得多。

我的朋友兼前同事 Gordon Tullock——我有幸认识的最富创造力的人之一——为这个问题提出了一个解决方案。他的方法首先需要确立某种衡量学生能力的标准；在法学院，可以使用所有学生必修的一年级课程成绩。到了第二学年开始时，根据选修每门课程的学生在一年级的成绩分布来设定该课程的评分曲线。在之后的每个学期，都要重新计算学生能力指标，将上一学期各课程提供的信息纳入考量，然后重复这一过程。

大多数本科院校并没有所有学生都修读相同课程的第一学年，因此需要其他方式来启动这个过程，可能是 SAT 成绩或高中平均绩点。另一种方法是让所有学生从同一起点出发，给所有第一季度的课程设定相同的曲线，然后利用学生获得的成绩逐步完善对学生能力的评估标准。从技术角度看，在当今计算机和电子表格程序普及的时代，实现这一方案应该相当容易，但据我所知，还没有任何学校采用过这种方法。

Adam Smith 关于课堂使用笔记本电脑的看法

教授们对学生在课堂上使用笔记本电脑持有褒贬不一的看法。这些设备是记笔记的实用工具，连接互联网后，还能用于快速查找与课堂讨论相关的信息。然而，它们同样可被用来收发邮件、即时通讯、玩游戏、阅读书籍，以及进行各种与课堂内容无关且分散注意力的活动。

几年前，我有幸旁听了一位同事的课。他在讲授那些通常被认为枯燥乏味的内容时，却能巧妙地吸引并保持学生们的兴趣和注意力——当然也包括我的。坐在教室后排，我能看到许多笔记本电脑的屏幕。除了一两个短暂的例外，这些屏幕上几乎没有色彩，我认为这表明学生们确实在用电脑记笔记，而非浏览网页或玩游戏。

是否允许学生在课堂上使用联网的笔记本电脑，实质上是对一个古老问题的现代变体：课堂出勤是否应该强制？因为网络使人能够身在课堂，心却在别处，形体虽在课室，却可以同时与朋友通信或阅读新闻。逃避课堂注意力的方法自古有之——我们中有些人还记得在乏味的高中课上偷看隐藏的书籍或任思绪游离于课程之外——但新技术无疑为此提供了更为便捷的工具。

关于强制出勤的问题，我无法超越亚当·斯密的睿见：

众所周知，对于那些真正有价值的讲座，根本不需要任何纪律规定来强制出席。诚然，对于儿童或非常年幼的男孩，某种程度的强制和约束可能是必要的，以便让他们专注于那些被认为在生命早期必须掌握的教育内容；但到了十二三岁之后，只要老师履行其职责，教育的任何方面几乎都不再需要依靠强制或约束来进行。

（《国富论》第五卷第一章第三部分第二条）

正如我的同事所证明的。

如何不应该教授数学——或经济学

我曾与小儿子的一次谈话让我想起了我长期以来对数学和经济学教学方式的质疑，当时他对自己的本科数学课程感到十分沮丧。定理被证明得过于严谨，远超学生真正需要的程度——尤其是在经济学中，严谨的证明只有与非严谨的模型结合才能应用于现实世界。这种过度严谨不仅超出了学生的需求，也超出了除最优秀的学生外任何人能够理解的范围。跟随证明一步一步地走是一回事，而在头脑中完整把握整个证明并真正理解其正确性则是另一回事，后者难度要大得多。

我常用来说明这个问题的例子是，教师们未能向学习微积分的学生解释为什么基本定理——积分和求导是互逆运算——是正确的。实际上，只需五分钟左右就能给出一个非严谨但直观上令人信服的证明，任何理解这两种运算的学生都能跟上，并且很可能记住。我博客上的一位评论者用38个词就做到了这一点[1]，但用图示来解释会更加简单明了。

据我所知，即使在优质学校里，学习微积分的学生中很少有人见过完整的证明过程；如果有超过五十分之一的学生能在课程结束一年后重现他们应该学过的那些严谨证明，我会感到十分惊讶。为了验证这一印象，我询问了我妻子的亲身经历。她告诉我，她学过两次微积分——第一次是在一所条件良好的郊区高中，由一位能力不足的教师授课；第二次是在一所顶尖文理学院。据她回忆，她从未见过这些证明。最近，我作为校友志愿者多次面试申请哈佛的高中毕业生，获得了更多证据。这些都是聪明的学生，许多人已经修完AP微积分课程并获得了最高分。我会问他们能否向我证明为什么积分和求导是互逆操作，为什么函数积分的导数就是该函数本身。我认为，至今还没有一位学生能够做到这一点。

在优质学校中，人们常常批评「食谱式」数学教学——学生只是记忆解题步骤而不理解其中原理。我认为，另一个同样严重的错误是以专业数学家在完成该领域所有原创工作后整理的形式来呈现数学分支。这种呈现方式不仅几乎无法被那些不具备专业数学家潜质的学生理解，而且还会对数学或其他理论的实际发展过程产生严重误导。

我虽非数学家，但作为一名经济学家，我通过亲身经历了解自己原创性工作是如何完成的。这一过程并非始于一步步的严密证明，而是源于对某组概念如何相互契合的直觉，以及对问题解决方案应具备何种特质的感知。只有在我摸索到（希望是）正确答案之后，我或他人才会回过头来使论证变得严谨。在我第一本著作出版约四十年后，我编写了第三版。其中部分工作就是填补空白，更深入、更详尽地发展那些我当时已领悟其精髓、且至今在大多数情况下仍认为正确的理念。

Alfred Marshall，这位可以说对新古典经济学的创立负有最大责任的人物，在一封信中这样评论数学论证与语言论证在其领域中的关系：

但我知道，在我后期研究该学科的工作中，我越来越感到一个处理经济假设的优秀数学定理很可能不是优秀的经济学：我越来越遵循这些规则——(1) 使用数学作为速记语言，而非探究的引擎。(2) 坚持使用它们直到完成工作。(3) 将其翻译成英语。(4) 然后用现实生活中重要的例子来说明。(5) 焚毁数学内容。(6) 如果你无法在第4步成功，就焚毁第3步。最后这一条我经常做。[2]

这一方法确有许多值得称道之处。数学是一种比英语更精确的语言，但也是一种与我们几乎所有人的直觉相距更远的语言。如果你掌握了数学但无法将其转译出来，或者想不出现实世界中与之对应的任何事物，那很可能意味着你并未真正理解它。

我有时担任学术期刊的审稿人。偶尔我会收到一些论文，当你将其中的数学转化为文字时，会发现它们毫无意义，甚至可以说是荒谬的。这些作者可能在他们所写的领域中拥有博士学位。但他们只是在操控符号，而非思考理念。

当我女儿从欧柏林学院转学至芝加哥大学时，她已经在欧柏林学习了两年，并且正认真考虑主修经济学。然而，在修完一门经济学课程后，她决定改选其他专业。这并非因为她不喜欢经济学——在她接受家庭教育的高中时期，她曾旁听过我教授的几门课程；我的一篇论文中有一个观点，我在脚注中特别归功于她；而且自她大学毕业后，还为我的几本书担任了编辑。真正的原因是，那门课程更多地在教授数学，而非经济学。

我与那所大学的一位我非常敬重的教授讨论了女儿的这一经历。这位教授是少数几位能让我认真反思自己可能犯错的人之一。恰巧，他的女儿也在同一所学校学习经济学。他认同我女儿的判断——这些课程过于强调数学的严谨性，而忽视了经济学的直觉理解。

真正重要的不是记忆，而是理解。如果你能背诵一个证明过程，却无法解释为什么结果是正确的，那么你只是在浪费时间。

「鱼筌因鱼而设，得鱼而忘筌；兔罝因兔而置，得兔而忘罝；言词因意而存，得意而忘言。吾安得忘言之人而与之言哉？」（庄子）

货物崇拜式教学

我们朋友的儿子被老师要求每天花二十分钟阅读，并报告完成情况。这种做法的理论依据可能是：既然定期阅读与理想的学习成果相关，那么强制孩子们阅读就能获得这些成果。然而，由于遵守规则的学生会把阅读分割成二十分钟一段，而不是一气呵成地读完一本书，这很可能导致他认为阅读只是一项必须在强制下完成的苦差事。

经过再三思考，这比货物崇拜更为糟糕。太平洋岛民建造假飞机虽然不会增加他们获得西方物资的机会，但至少也不会减少这种可能性。

几年前，我们在不同情境下观察到了类似的错误。我在家自学的女儿考虑将来成为图书馆员，便主动在当地一家大型图书馆无偿工作。仅仅一周后，他们感谢她并告知她的志愿服务期已结束。显而易见，他们假定她志愿服务不过是因为高中有此要求，或只是为了在大学申请材料上增添一笔经历；现在该轮到别人了。

出于真心想做有益之事而志愿服务，这体现了值得赞赏的品格特质。而为了获取外部奖励而志愿服务则不然。最终，我女儿找到了一家规模较小的图书馆，他们确实需要她的服务，她在那里工作了几年。

再举一例，考虑我在创意历史再现协会（Society for Creative Anachronism）中观察到的问题。在SCA中，人们过于频繁地将历史准确性视为迫于他人压力而为之的事，或仅仅是为了获取奖励和地位。结果是，所谓的「史料研究」不是为了探究特定历史时期的真实做法，而是为了找借口宣称自己想做的事情，或至少某些相似的事情，在历史上确有其事。

在这些案例中，错误本质都是相同的：试图在缺乏其恰当原因的情况下创造出效果。说白了，就是弄虚作假。

我博客上有位评论者这样回应：

试图通过追求表象来获得实质，这正是《阿特拉斯耸肩》中反派人物的典型行为，从经济领域到性关系，处处如此。

正确做法：芝加哥大学的 Scav

每年，芝加哥大学有相当一部分学生会花费数天大部分时间参加一场寻宝游戏，这被称为世界上规模最大的此类活动。活动开始时会发布一份清单，上面列有两三百项需要寻找、完成或解决的任务。比赛以团队形式进行，这些团队通常（尽管并非总是）与宿舍关联，一般有一百到两百人——包括学生、校友、朋友和盟友——共同分工完成寻宝游戏的各项挑战。

历届寻宝游戏的任务清单可以在网上找到。例如，1999年的一项：

任务 240. 在一个棚子里建造一个增殖反应堆，并提供童子军徽章以证明功劳归于应得童子军荣誉的人。[500 分]

而且确实有一对物理系学生做到了。

大多数任务项目比这个要容易得多。

例如：

我们的植物已经听了《Plantasia》专辑好几个月了，但我们担心它们开始感到无聊。请录制 5 分钟的《我的小球茎，我的小球茎和我》，一档由植物主持、为植物提供建议的播客节目。评审前请提交至 mbmbam@uchicago.edu。[6 分]

让一位篮球运动员执行洗礼仪式。来个灌篮式洗礼吧，宝贝。[大学篮球运动员可得 8 分，NBA/WBNA 篮球运动员可得 21 分]

我们听说所有宿舍辅导员都可以选择以 500 美元的低价在夏季住在 Vue53。我们还听说这意味着整个夏天只有一群辅导员单独住在宿舍里。令人遗憾的是，竟然没有人想到利用这一点制作一个类似《老大哥》的真人秀节目，记录这些辅导员共同生活的故事。[8 分]

有些任务必须在芝加哥市外完成，因此每个团队需要组建一个公路旅行小组。例如：

在印第安纳州克劳福德斯维尔的路易斯·华莱士研究与博物馆，旅行马戏团为家里收集了两件纪念品：平面路易斯和一个来自户外图书馆的种子包。[8 分]

有些是需要进行研究才能解答的谜题：

根据 1987 年吉文斯城堡的一则租赁广告，除了学校外，该城堡还可以被什么需要大片场地的机构租用？[4 分]

没有评分，没有教学大纲，没有课堂。只是人们为了乐趣而从事的活动——而这些活动中很多最终都会具有教育意义。

[1] 「一个人可以从黎曼的导数定义开始，在曲线下方绘制小矩形，并证明在极限情况下，对累积积分求导等同于观察曲线在该点的高度。」

[2] 这让我不禁思考，有多少本该属于下个世纪的经济学理论最终被马歇尔扔进了壁炉。